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CUBO DE UN BINOMIO.



El binomio, puede corresponder a una suma o a una diferencia. Veamos.

c:\users\usuario\desktop\705px-binomio_al_cubo.svg.png

Desarrollemos (a + b)3

( a + b )3 = (a + b)2 (a + b)= ( a2 + 2ab + b2) (a + b)

(a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
Por lo tanto, podemos asociar, la siguiente regla, al CUBO DE UNA SUMA:

El cubo de una suma es igual al cubo del primer término, MAS tres veces el cuadrado del primero por el segundo, MAS tres veces el primero por el cuadrado del segundo, MAS el cubo del segundo.

(a + b)3 = a3+3 a2b + 3ab2 + b3

MODELACION:

(4x + y)3= (4x)3 + 3 (4x)2 (y) + 3 (4x)(y)2 + (y)3

= 64x3 + 3(16x2) (y) + 12xy2 + y3

= 64x3 + 48x2y + 12xy2 + y3
Y la regla asociada al CUBO DE UNA DIFERENCIA, será:

Desarrollemos (a - b)3

(a - b)3 = (a - b)2 (a - b)

= (a2 – 2ab + b2) (a - b)

= a3 – a2b – 2 a2b + 2ab2 + ab2 – b3

= a3 – 3 a2b + 3ab2 - b3

(a - b)3 = a3 – 3 a2b + 3ab2 – b3

Notemos que los signos se alternan, empezando siempre por el signo MAS (+).
SIMULACION

  1. Efectuar las siguientes las operaciones indicadas


1. ( x - 1 )2 2. ( x + 1 )2

3. (2x + 3)2 4.
5. ( 1 - x )2 - 3x 6. [ ( a + 2b)3 ]0 - 1
7. ( a + b + c )2 –(2ab + 2ac + 2bc) 8. (a + b – c)2- (2ac + 2ab – 2bc)
9. (a – b + c)2 – (2ac – 2ab – 2bc) 10. ( 4 – 7 )3
11. (4 + y)2 12. (1 – 3z2)2

13. (m2 + y2)2 14. (

15. (xa + yb)2. 1 6. (3 ax + 1+ 4by – 2)

17. (5 – x)2 18. ( 3m 2 - 5n3)2

19. (2m2 – 3nb)2 20 ( 5x – ay)2

21. (x a + 1 – 3xa – 2 )2 22 ( x-2 – 2y-1)2
2. Efectuar los siguientes productos aplicando suma por diferencia
1. ( 3 a + 9 ) ( 3 a – 9 ) 2. ( x – 2y ) ( x + 2y )

3. ( a2 + b ) ( a2 - b ) 4. ( mx + n ) ( mx – n )

5. ( 4x – 3y ) ( 4x + 3y ) 6. ( 3m – n ) ( 3m + n )

7. ( y3 + 7 ) ( y3 – 7 ) 8. [ ( x + y ) + 5 ] [ ( x + y ) – 5 ]

9. ( 2h – k + 3 ) ( 2h – k – 3 ) 10.

11. ( x2m + 4 ) ( X2m – 4 ) 12. ( x + 2y + 4 ) ( x + 2y – 4 )

3. Desarrollar por simple inspección los siguientes binomios (aplicando productos notables).
1 ( x + 3 )3 2. ( m + 2 )3

3. ( 3 + y2)3 4. (m – 4n)3

5. (2t + 1)3 6. (0.5 +x)3
7. ( 8. (3

9. (0.01 + t2)3 10. (x2m – yn) 3

11. (xt + y3t)3 12. [(a + b) - 2]3

13. [(a – b) + 3c]3
Para resolver binomios, elevados a potencias superiores, usaremos el TRIÁNGULO DE PASCAL.

La expresión (a + b)n, se llama BINOMIO DE NEWTON. Vamos a descubrir los criterios básicos para desarrollar el binomio de Newton. Veremos cómo obtener los exponentes. El signo y el coeficiente de cada término.
Hasta el momento hemos desarrollado estos binomios:

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
Por multiplicaciones sucesivas de (a + b) podemos llegar a:

(a + b)4 = a4 + 4 a3 b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5 a4 b + 10a3 b3 + 5ab4 + b5
Si lo observamos cuidadosamente el desarrollo de estos binomios, podemos escribir conclusiones como estas:

1. El número de términos de resultado, es siempre UNO más que el exponente del binomio.

2. El exponente del primer término del desarrollo, es igual al del binomio.

3. El exponente de “a” disminuye de uno en uno en cada término; en cambio el de “b” aumenta de uno en uno.

4. El exponente del último término es igual al del binomio.

5. Todos los términos del desarrollo de (a + b)n, son positivos. Si el binomio fuera (a - b)n , los signos se alternarían así: (+),(-),(+),(-)

6.Para analizar los coeficientes, tomemos uno de los binomios que hemos desarrollado.
( a + b )5 = a5 + 5 a4b + 10 a3 b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5



Los términos simétricos tienen los mismos coeficientes. La simetría de los términos, nos permite disponer los coeficientes del binomio en forma de un triangulo conocido como TRIANGULO DE PASCAL. Este triángulo es el que nos permite obtener los coeficientes del binomio de una manera fácil. Construyamos el triangulo.

( a + b )0 = 1………………………………….. 1

( a + b )1 = 1 a + 1b……………………….1 1

( a + b )2 = ……………………………..1 2 1

( a + b )3 =………………………… .1 3 3 1

( a + b )4=……………………….1 4 6 4 1

( a + b )5=…………………..1 5 10 10 5 1

(a + b )6 =…………….1 6 15 20 15 6 1
El triangulo de pascal nos indica:

  1. los coeficientes de los términos de los extremos son iguales a UNO.

  2. Sumando dos elementos consecutivos de una fila, obtenemos un coeficiente de la fila siguiente; es decir, un coeficiente cualquiera para obtener sumando los que están encima de él en la fila anterior.


MODELACION

Veamos la aplicación del triángulo en el desarrollo de ( a – 2b)6

SOLUCION:

Ejemplo 1.

Apliquemos cuidadosamente las sugerencias que acabamos de deducir.
( a – 2b)6 = a6 – 6 (a5) (2b) + 15 (a4) (2b)2 – 20 (a3) (2b)3 + 15 (a2) (2b)4 – 6(a).(2b)5

+ (2b)6

= a6 – 12 a5b + 60 a4 b2 – 160 a3b3 + 240 a2b4 – 192 ab5 + 64b6

EJEMPLO 2:

Hallemos el cuarto término de ( 3x – 2y )5

SOLUCION:

  1. COEFICIENTES: en el triangulo de Pascal vemos que el coeficiente del cuarto término de ( a + b )5 es 10

  2. SIGNO: sabemos que los signos se alternan así:

1er término = +

2º término = -

3º término = +

4º término = -

c) EXPONENTES:

1º. Término (3x)5

2º término (3x)4 (2y)

3º término (3x)3 (2y)2

4º término (3x)2 (2y)3

Luego, el cuarto término será: - 10 (3x)2 (2y)3 = - 10 (9x2) (8y3) = -720x2 y3

EJERCITACION

  1. Desarrollar los siguientes binomios:

a) ( m + 2n)6 b) (2x2 – 3y)5 c) (4 – x4)3

d) (px – 1)4 e) f)

g) h) ( y – pq)8 i)

  1. En los siguientes binomios hallar el término indicado:

a) Quinto término de: (x2 – 2y)5

b) Séptimo término de : ( a + b2)7

c) Sexto término de : (4x3 – 5y2)10

d) último término de: ( 5 – x3)7

  1. En los siguientes ejercicios del 1 al 8, seleccionar la letra que corresponde a la respuesta correcta.

1. la diferencia de dos cuadrados es igual a:

a) una diferencia elevada al cuadrado

b) una suma elevada al cuadrado

c) suma de raíces cuadradas por la diferencia de las mismas

d) diferencia de raíces cuadradas

2. una suma de dos términos elevada al cuadrado es igual a:

a) suma de dos cuadrados más un doble producto.

b) suma de dos cuadrados menos un doble producto.

c) diferencia entre dos cuadrados

d) suma de dos cuadrados solamente
3. El número de términos del desarrollo de (a + b)n es:

a) n – 1

b) n + 1

c) n

d) 2n

4. Los signos del desarrollo de ( a – b )n son:

  1. todos positivos

  2. todos negativos

  3. alternados empezando con ( -)

  4. alternados empezando con (+)

5. En el desarrollo de ( a + b )n, con ≥ 1, el coeficiente del segundo y del penúltimo termino es:

a) n

b) 2n – 1

c) n – 1

d) n + 1

6. El resultado de: (a - b)2 + 2 ab es:

a) a2 – b2

b) a2 + b2

c) a + b

d) a – b

7. El resultado de ( 3 + ) (3 -) es:

  1. 7

  2. 9 +

  3. 11

  4. 9 -


8. El resultado de: ( a – b )2 – (a + b ) ( a – b ) es:

  1. – 2ab

  2. 2b2 – 2ab

  3. A2- 2ab

  4. A2 + 2ab


9. calcular las siguientes potencias:

a)

b) ( - 3ab2 m3 n)3

c)

d) ( - 2x2 ym2 n3 p)3

10. desarrollar los siguientes binomios

a) (1 – x)3

b) ( 1 + xy)2

c) (2x -7y )2

d) (mn – a)2



11. Efectuar [( a + b ) – ( a – b)]2


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