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EL LENGUAJE ALGEBRAICO.


ENUNCIACION

Realiza con atención la siguiente lectura, que emplearemos como introducción al álgebra.

1. El arte de plantear ecuaciones

El idioma del álgebra es la ecuación. "Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico», escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la traducción. He aquí uno de ellos:



Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última ecuación.

La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación a base de los datos de un problema suele ser más difícil. Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir "la lengua vernáculo a la algebraica". Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil traducción.
SIMULACION


  1. Identifica los términos desconocidos, búscalos en el diccionario y escribe su significado.

  2. Qué entiendes por ecuación.

  3. Escribe una definición de “lenguaje algebraico”.


MANEJO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS



ENUNCIACIÓN 
Familiarizarse con los términos y símbolos básicos del álgebra, es el punto de partida para un correcto manejo.
PALABRAS CLAVES:

La tabla siguiente, nos muestra formas de leer las operaciones básicas, en un lenguaje matemático:


La Suma o Adición 
(+)

La Resta o Sustracción
( - )

La Multiplicación
( · )

La División
(÷ )

suma
añadir
más
aumentado por
más que

resta
diferencia
menos
menor que
disminuido por
quitado de

multiplicar
producto
veces 
de

dividir
dividido por
cociente



TERMINOLOGÍA BÁSICA:





  1. TERMINO ALGEBRAICO:


Un término algebraico consta de las siguientes partes:

  • Signo. Puede ser positivo (+), o negativo (-).




  • Coeficiente. Si bien en el producto de dos o más factores, cualquiera de ellos puede llamarse coeficiente de los otros factores, se le llama coeficiente a una constante (con todo y signo), que es un factor de las variables de cualquier término algebraico.

Modelación:

En 7ab2c  que es un término algebraico ; 

7 es coeficiente de ab2c




a es coeficiente de 7b2c




b2 es coeficiente de 7ac




c es coeficiente de 7ab2

  • Variable (o parte literal). Es una generalización de una cantidad.




  • Exponente. Es el número de veces que se multiplicará la cantidad generalizada o variable, por sí misma.


Modelación:

a) -2x2;

Signo: negativo




Coeficiente: -2




Variable: x




Exponente: 2

b) ax2y3;

Signo: positivo




Coeficiente: a




Variables: x , y




Exponentes: 2 (de la x)
3 (de la y)

  1. EXPRESION ALGEBRAICA:

DEFINICION:

Una expresión algebraica consta está conformada por términos (números, variables) separados por signos de operación, tales como + (suma) y – (resta).

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIÓNES ALGEBRAICAS

Los términos de las expresiones algebraicas se pueden clasificar en función de las operaciones que se deben realizar con sus variables, en los siguientes grupos:


  • Expresiones algebraicas racionales. Es el que no tiene radical y tiene como denominador una variable.


Ejemplo: ;
Las expresiones racionales, a su vez, pueden ser de dos tipos:


  • Expresiones Algebraicas Enteras. Son aquellas en las que no aparecen variables en los denominadores.


Ejemplo: x2 + 2y; 7x + 8y – 2z



  • Expresiones Algebraicas fraccionarias. Son aquellas en las que aparece alguna variable en los denominadores.


Ejemplo: ;


  • Expresiones Algebraicas Irracionales. Son aquellas en las que aparece alguna variable bajo el signo radical.


Ejemplo: ;

  1. Otra forma de clasificación de las expresiones algebraicas (la más usual) se refiere al número de términos que la integran, así:


Monomios. Si tiene un solo termino

Binomios. Si tiene dos términos.

Trinomios. Si tienen tres términos

Polinomios. Si tiene cuatro o más términos.


  1. Grado de un término. Puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra.



  • Absoluto: Es la suma de los exponentes de todas las variables que aparecen; así, el termino 5ab2 es de grado absoluto 3 ya que las variables tienen como exponentes 1 y 2, respectivamente.




  • Con relación a una variable: es el máximo exponente de dicha letra, así, 5x2y6 es de grado 2 con respecto a “x “ y de grado 6 con respecto a “y”.




  1. Grado absoluto de un polinomio: es el grado de su termino de mayor grado, así, en el polinomio x4 – 5x3 + x2 – 3x el primer término tiene el mayor grado, luego el grado absoluto del polinomio es cuatro.




  1. Grado de un polinomio con relación a una variable: Es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio, así, el polinomio 6a4x3 – 3a3x7 + 8a2x2 – 4ax tiene de grado en “a” cuatro y en “x” 7.




  1. Valor numérico de una Expresión Algebraica es el valor que se obtiene al sustituir las letras por un valor numérico.




  1. Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte litera y a su vez estos en una expresión algebraica se puede reducir al adicionar sus coeficientes y multiplicar por la parte literal.


MODELACION – SIMULACION

  1. En cada uno de los siguientes polinomios elige una variable, y ordénalo en forma decreciente de acuerdo con el grado de esa variable.



  1. x3y – x4 + x5y2 – x6y3 + 3xy5




  1. 3y5z + 3y4z2 – 8y6z4




  1. 8a2b6 – 9ab7 + 10a3b5




  1. 6x2y3z3 – 15x9y4z6 + xy12z2



  1. ab – a5b2c + 3a4b7c6 – 4a6b6c3




  1. Determina el grado absoluto y el grado con respecto a cada variable en las siguientes expresiones algebraicas:

  1. 15x5 y – 9x4 y

Grado absoluto: _

Grado con respecto a la variable principal _______


  1. 32x8b – 6x5b2 + 12x3 – 4x2b9

Grado absoluto: __

Grado con respecto a la variable principal__________________


  1. 4x3y2

Grado absoluto: ______________________________________

Grado con respecto a la variable y _______________________

  1. 6xn3 + 7xn2 – 3xm2n

Grado absoluto:_______________________________________

Grado con respecto a la variable m _______________________


  1. Clasifica cada una de la siguientes expresiones algebraicas según el número de términos que la integran:


a) 5x – 3y – z b) a2 + b3 – c4 + k 
c) 10x2y d) ___

e) 2 – x f) 2x – 3 y2 _________________
g) a2 + ab + b2 h) x + __________________

i) a + b + c + j) h2k2t5 _____________________

k) l) 152x6 – 75x4y _______________
m) 5m5n + 3m4n2 – 24m3n2 – 8m2n45 + 52mn – 85 ___________________

MODELACION

Traducir cada frase usando símbolos.
 

                       Frase                                            En símbolos

a. La suma de 2 y un número.                            2 + d  (la "d" representa el número)

b. 3 más que un número                                     x + 3

c. La diferencia entre un número y 5                  a - 5

d. 4 menos n                                           4 - n

e. Un número aumentado en 1                           k + 1

f. Un número disminuido en 10                           z - 10

g. El producto de dos números                           a · b

h. Dos veces la suma de dos números               2 ( a + b)

i. Dos veces un número sumado a otro              2a + b

j. Cinco veces un número                                   5x

k. El cociente de dos números                      
                                                                        
 

EJERCITACION

A. Traduce usando símbolos:

    1. La suma de dos números ____________________

    2. 10 más que n                     ____________________

    3. Un número aumentado en 3     ____________________

    4.  Un número disminuido en 2    ____________________

    5. El producto de p y q                 ____________________

    6. Uno restado a un número        ____________________

    7. 3 veces la diferencia de dos números    ____________________

    8. 10 más que 3 veces un número             ____________________

    9. La diferencia de dos números                ____________________
 
 
  B. Escribe usando símbolos y simplifica el resultado:

    1. La suma de 24 y 19       ___________________________

    2. 19 más que 33               ___________________________

    3. Dos veces la diferencia de 9 y 4     __________________________

    4. El producto de 6 y 16      ___________________________

    5. 3 veces la diferencia de 27 y 21   ___________________________

    6. La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado  _______________________

    7. El cociente de 3 al cubo y 9      _____________________________

    8. 12 al cuadrado dividido por el producto de 8 y 2  _______________________
 
 

DEMOSTRACION

Los ejercicios que aparecen a continuación, corresponden al cálculo del valor numérico de una expresión algebraica, el cual consiste en realizar el reemplazo de las variables, por un valor conocido (o constante).

  1. Halla el valor de d en d= 1 t2 g para g= 25, t= 8.

2

  1. Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes considerando: a= 4; b = -1; c = -7; d = -1; f = -2.


a) 5a2 – 2bc – 3d b) 7a2c – 8d3
c) 6a3f d) 2a2 – b3 – c3 – d5
e) d4 – d3 – d2 + d – 1 f) 3/4a – 2/5c


ENUNCIACION.

La realización de operaciones con expresiones algebraicas, requiere un adecuado manejo del concepto de términos semejantes para entender cómo a partir ellos puedes realizarse reducciones (sumas y restas) de los mismos.
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