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CONJUNTOS NUMERICOS


ENUNCIACION 

1)   Números Naturales

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}

El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.

Características de este conjunto:

Tiene un número infinito de elementos

Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.
El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).

2)    Conjunto de los Números Enteros

                 Z  =   { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 =  ¿?). Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).

Z = N*  U Conjunto de los Números Enteros negativos

Z = Tiene 3 Subconjuntos:

Enteros Negativos: Z ¯

Enteros Positivos:  Z +

Enteros Positivos y el Cero:  Z 0+

Por lo tanto, el Conjunto de los Números Enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados.

                             Z  =  Z ¯  U  {0}  U  Z +

3)    Conjunto de los Números Racionales

Q  = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales y los Números Enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a / b. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero.

El conjunto de los Números Racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los Números Enteros (Z). 

              Se expresa por comprensión como:

Q  =  { a /b  tal que  a y b  ∊   Z; y  b ≠  0 }

Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión.  

Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.

4)     Conjunto de Números Irracionales

      I  =    Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos

Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.

Ejemplos:  1,4142135....

                               0,10200300004000005....
SIMULACION

  1. Asigna un valor de verdad (Falso o verdadero) a cada una de las siguientes proposiciones, si es Falsa, justifica tu respuesta.

a. Todo número racional puede expresarse mediante un decimal.

( ) _____________________________________________________________
b. En una fracción decimal periódica corresponde al conjunto de los números naturales ( ) _________________________________________________________________
c. los decimales se clasifican en, finitos, infinitos periódicos e infinitos no periódicos.

( ) _______________________________________________________________
c. los decimales se clasifican en, finitos, infinitos periódicos e infinitos no periódicos.

( ) _______________________________________________________________

d. Toda expresión decimal representa un racional. ( ) _______________________________

__________________________________________________________________________
e. Un numero irracional es aquel en que su parte decimal es periódica ( )

__________________________________________________________________________
2– Convierte el denominador de las siguientes fracciones en una potencia de diez y luego escribe cada fracción en forma decimal.

  1. b. c. d. e.


3– Compara cada pareja de números e identifica el mayor y el menor.

  1. b. c. 0,0078 y 0.0079



d. e. f.

EJERCITACION.
Tachar en cada conjunto los elementos que no pertenezcan a él. Ubicar cada uno de los elementos descartados en el conjunto correspondiente.

R

Z

Q



3

Q

-4

π

1,6







-5

Tomado de Santillana, Algebra y geometría.
DEMOSTRACIÓN:

Indicar si las afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique las opciones que den Falso por respuesta.

a. El conjunto de los números naturales es finito.

b. Todo número entero tiene un número anterior.

c. - es un número racional.

d. Todo número irracional es también un número real.

e. es un número racional.

f. El conjunto de los números enteros está contenido en el conjunto de los números naturales.

g. La intersección entre el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales es un conjunto vacío.

h. no es un número racional.
APLICACIÓN:

(competencia interpretativa)
Al hallar el valor de cada operación y cambiar el resultado por la letra correspondiente se encontrará el nombre de un matemático.

A= E= 1 S = N = O = 0

R= T=

OPERACION

LETRA

























































Ejercicio tomado de Santillana, Algebra y Geometría I


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