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CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES


Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas:

   

a) Por el número de incógnitas.


Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x + 4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene dos y 5xy - 3x2 + z = 8 tiene tres incógnitas.

Las ecuaciones con una incógnita se pueden imaginar como puntos sobre el eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un plano. Las de tres incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones.

   

b) Por el grado de la incógnita.


Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la incógnita (el grado es el exponente más alto de la incógnita).

Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que 2). Si no se puede descomponer la ecuación en factores, cualquier ecuación, sea del grado que sea, se puede resolver de esta forma:

Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0

Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las siguientes ecuaciones:

x1 + x2 + ... + xn = -a1

x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2 

x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn + ...+ xn-2xn-1xn = -a3

..................................

x1x2...xn = (-1)nan

Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos permitiría obtener las soluciones.

   

c) Por el número de términos



  • Ecuaciones binómicas:

Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones binómicas.
  • Ecuaciones polinómicas:

Las ecuaciones que tienen tres términos, se llaman trinómicas, y aunque podríamos seguir llamándolas en función del número de términos, se suelen llamar polinómicas.

SOLUCION DE ECUACIONES


Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raiz real o compleja. Este enunciado es el teorema fundamental del álgebra.

D'Alembert fue el primer matemático que dió una demostración, pero no era completa. Se considera a Gauss como el primer matemático que dió una demostración rigurosa.

a) Ecuaciones de primer grado y una incógnita


Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con despejar la x. Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual. Para pasar un número, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:

-Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando. En nuestro caso quedaría ax = -b

-Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando. En nuestro caso x = -b/a.

b) Ecuaciones de segundo grado y una incógnita


Las ecuaciones de la forma ax2 + bx - c = 0, también son muy sencillas de resolver. Basta aplicar la siguiente fórmula:

ecu2gra

Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a -b la raiz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a -b la raiz y lo dividimos por 2a.

c) Ecuaciones de tercer grado y una incógnita


Aunque hay fórmula para resolver las ecuaciones de tercer grado, no merece la pena aprenderse la fórmula, pues hay otros métodos de resolver la ecuación de una forma más cómoda.

Sin embargo, vamos a ver cómo se resuelve un tipo concreto de ecuaciones de tercer grado, las del tipo x3 + mx = n (por supuesto si la ecuación aparece 'disfrazada' de esta forma ax3 + bx + c = 0, se puede convertir en la forma anterior, dividiendo todos los términos por a, m = b/a y n = -c/a)

El método para resolver estas ecuaciones se llama método de Cardano, pues se atribuye a Girolamo Cardano (1501-1576) su descubrimiento.

El método es el siguiente:

forcarda

Las ecuaciones de este tipo son famosas y los profesores suelen ponerlas en los exámenes. Quedareis muy bien si además citais el libro en que apareció por primera vez y el autor (Libro: Ars Magna. Autor:Girolamo Cardano).

c) Ecuaciones de cualquier grado y una incógnita


El método mas frecuente de resolver ecuaciones de grado superior a 2 es descomponer la ecuación en factores (dividiendo la ecuación por los posibles divisores), con lo que, si tenemos suerte, la ecuación se reduce a un producto de otras ecuaciones de grado menor que ya podemos resolver por las fórmulas anteriores.

A veces nos ponen una ecuación de segundo grado 'disfrazada' . Lo vereis con un ejemplo: 3x4 + 2x2 - 5 = 0. En esta ecuación si hacemos el cambio de variable x2 = t, nos queda 3t2 + 2t - 5 = 0. En este caso, haceis el cambio de variable, resolveis la ecuación de segundo grado y despues despejais la x (calculando la raiz cuadrada del valor que hemos obtenido para t).

Si ninguno de los métodos anteriores os da resultado, sorprendereis a vuestro profesor resolviendo la ecuación por este método:

Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0

Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las siguientes ecuaciones:

x1 + x2 + ... + xn = -a1

x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2 

x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn + ...+ xn-2xn-1xn = -a3

..................................

x1x2...xn = (-1)nan

Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos permitiría obtener las soluciones.

 

SIMULACION
1. Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones fraccionarias:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

2. Resuelva las siguientes ecuaciones y problemas aplicados antes de comenzar a resolver fíjese con cuidado en las operaciones que puede realizar en cada lado de la ecuación. Una vez que haya simplificado las expresiones a ambos lados continúe. En los problemas plantee una ecuación y luego resuelva.







25)



26)



27)



28)



3. Determina las raíces de las siguientes ecuaciones de segundo orden:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

DEMOSTRACION

1. Si a y b son números naturales, completar el siguiente cuadriculado con las expresiones

y de tal modo que en cada fila y en cada columna aparezca sólo una vez la expresión

1/b









1/b










1/b

¿Qué condiciones debe satisfacer a y b para que el cuadriculado

sea un cuadrado mágico?

2.- Demuestra que:

a) a + b __ a – b = 2

b b

3.- Resuelve:

a) a + b . ab . a2 – 2ab + b2 b) x2 + 2xy + y2 . 1 c) a . 2b

a2 – b2 a + b 3ab x + y b 3a
d) x – y . x2 e) 3x – 6 . x2 – 9 . 1 f) 3(a – b) . -17(a – b )

x ( x – y ) 2x – 6 x2 – 4 3 2x 19x3
g) -x3y4 . x7y8 h) x – 2 . ( x – 3 )2

x4y5 -x15y3 x – 3 x2 – 4
4. Descubre la figura a través de las ubicaciones de estos pares ordenados, en un gráfico cartesiano.

Comienza una nueva línea para cada grupo de pares ordenados y sombrea en los casos marcados con negrita.

COMENZAR

(-5, 3)

(-5, 2)

(-3, -2)

FIN DE LINEA

(-4, 0)

(-5, -4)

(-5, -8)

(-4, -13)

(-4, -22)

(-2, -23)

(0, -22)

(0, -12)

(1, -10)

(2, -12)

(2, -22)

(4, -23)

(6, -22)

(6, -13)

(7, -8)

(7, -4)

(6, 0)

FIN DE LINEA

(7, -10)

(8, -12)

(8, -18)

(9, -19)

(11, -18)

(11, -9)

(12, -7)

FIN DE LINEA

(6,5; -10)

(8, -10)

(10, -9)

(12, -7)

(13, -4)

(13, 2)

(12, 5)

(9, 7)

FIN DE LINEA

(6, 7)

(7, 6)

(9, 5)

(9, 7)

(10, 10)

(11, 12)

(13, 14)

(13, 16)

(11, 17)

(7, 17)

(3, 15)

FIN DE LINEA

(4, 13)

(3, 15)

(1, 17)

(-2, 17)

(-3, 16)

(-4, 14)

(-5, 15)

FIN DE LINEA

(-1, 9)

(-2, 8)

(-3, 8)

(-4, 10)

(-5, 15)

(-6, 19)

(-8, 22)

(-10, 22)

(-11, 21)

(-10, 20)

(-9, 20)

(-8, 18)

(-8, 10)

(-7, 6)

(-6, 4)

(-5, 3)

(-2, 2)

(-1, 2)

(1, 3)

(2, 4)

FIN DE LINEA

(1, 3)

(0, 1)

(-2, 0)

(-1, 2)

FIN DE LINEA

(-2, 0)

(-3, 0)

(-1, -2)

FIN DE LINEA

(-8, 16)

(-12, 16)

(-13, 15)

(-12, 12)

(-10, 10)

(-9, 8)

(-8, 3)

(-6,5; 4,5)

FIN DE LINEA

(-2, 11)

(-2, 10)

(-3, 10)

(-2, 11)

FIN DE LINEA

(1, 11)

(1, 10)

(2, 10)

(1, 11)

FIN DE LINEA



  1. Grafica las funciones y = 2x + 1 e y = -3x -1, dándole a la variable independiente, o sea a la x, los valores -3, -1, 0, 2, 4. ¿Qué ocurre con la grafica cuando el coeficiente de x es positivo o es negativo? ¿qué señala el punto 1 y -1 en las funciones dadas?

  2. Determina el las funciones siguientes los valores de la pendiente y del coeficiente de posición:

  1. y = -3x + 2

  2. y = 4x – 5

  3. y = -x – 1

  4. y = x

  5. y = -2

  6. 3x – y = 2

  7. -2x + 4y = -3







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