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UNIDAD I

LENGUAJE ALGEBRAICO Y OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS.




PROPOSITO

  • Familiarizar a los estudiantes con el manejo de los números, dentro del contexto de los conjuntos numéricos, logrando una apropiación del lenguaje matemático, que les permita reescribir en términos matemáticos, expresiones traídas del lenguaje natural y el proceso inverso.

  • Manejar con habilidad las operaciones con expresiones algebraicas, usando los conceptos previos requeridos en su solución, tales como: los términos semejantes, el producto y el cociente de potencias de bases iguales, leyes de signos, supresión de signos de agrupación y operaciones con enteros y fraccionarios.


ENUNCIACION

Hablemos un poco de la utilidad de los números……………

1. La quinta operación

Con frecuencia se denomina al álgebra la «aritmética de las siete operaciones», queriendo subrayar con ello que a las cuatro operaciones matemáticas conocidas por todos, el álgebra añade tres más: la elevación a potencias y sus dos inversas.

Comencemos nuestras pláticas algebraicas por la «quinta operación»: la elevación a potencias.

¿Responde esta operación a una exigencia de la vida práctica? Indudablemente. Con ella tropezamos a menudo en la vida. Recordemos los innumerables casos en que para calcular superficies y volúmenes se precisa elevar los números a la segunda o tercera potencia. Otro ejemplo: la fuerza de gravitación universal, la acción recíproca electrostática y magnética, la luz y el sonido son inversamente proporcionales al cuadrado de las, distancia. La continuidad de la traslación de los planetas alrededor del Sol (o, de los, satélites alrededor dé los planetas) viene expresada también en forma de una potencia dependiente de la distancia que les separa de su centro de traslación: la relación entre los cuadrados de los tiempos de traslación es igual a la relación entre los cubos de las distancias.

Es un error pensar que en la práctica tropezamos tan sólo con segundas y terceras potencias, y que no existen exponentes de potencias superiores más que en los manuales de álgebra. Cuando un ingeniero busca el grado de solidez de un cuerpo se ve obligado operar a cada instante con cuartas potencias; y en otros cálculos (para hallar el diámetro de tubo conducto de vapor, por ejemplo) llega a operar incluso con la sexta potencia.

Asimismo los técnicos hidráulicos se valen de las sextas potencias cuando tratan, de averiguar la fuerza con que son arrastradas las piedras por el agua: si la corriente de un río es cuatro veces más rápida que la de otro, el primero es capaz de arrastrar por su lecho piedras 4 pulgadas, es decir, 4.096 veces más pesadas que el segundo río1.

Al estudiar la relación que existe entre la luminosidad de un cuerpo incandescente, el filamento de una lámpara, por ejemplo, y su temperatura, se opera con potencias aún mayores. Cuando la incandescencia es blanca, su luminosidad general aumenta en relación a la decimosegunda potencia de su temperatura; cuando es roja, en relación a la trigésima potencia de su temperatura (siendo ésta «absoluta», es decir, a partir de –273°C).

Esto significa que si calentamos un cuerpo de 2.000° a 4.000° absolutos por ejemplo, o sea, si elevamos su temperatura al doble, la luminosidad de dicho cuerpo aumentará en 212, es decir, en más de 4.000 veces. En otro lugar nos ocuparemos de la importancia que tienen para la técnica de fabricación de lámparas eléctricas estas proporciones tan singulares.

TEXTO DE Patricio Barros 2, tomado de Mecánica Recreativa, capítulo IX.

2. Cifras astronómicas

Es probable que nadie haga tanto uso de la «quinta operación matemática» como los astrónomos. Los exploradores del firmamento manejan sin cesar cantidades formadas por una o dos cifras significativas seguidas de una larga fila de ceros. Sería muy incómodo

expresar con los medios ordinarios tales cantidades, llamadas con razón «astronómicas» y, sobre todo, operar con ellas. Los kilómetros que nos separan de la nebulosa de Andrómeda se representan con la siguiente cifra:

95 000 000 000 000 000 000.
Por añadidura, al efectuar cálculos astronómicos, muchas veces hay que operar no con kilómetros u otras unidades aún mayores, sino con centímetros. En este caso, la distancia antes referida lleva cinco ceros más:

9 500 000 000 000 000 000 000 000.

La masa de las estrellas viene expresada en cifras todavía más considerables, sobre todo si hemos de registrarla en gramos, como exigen muchos cálculos. La masa del Sol, en gramos, es igual a:

1 983 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Huelga ocuparse de los inconvenientes que representaría operar con números tan desmesurados y de lo fácil que sería incurrir en error en tales casos. Además, las cantidades referidas están muy lejos de ser las mayores en la astronomía.

La quinta operación matemática aligera los cálculos. La unidad seguida de varios ceros se expresa con el número 10 elevado a una determinada potencia

100 = 102

1.000 = 103

10.000 = 104

etc.
Los enormes números citados anteriormente pueden representarse como sigue:

el primero 950 x 1022

el segundo 1.983 x 1030

Se expresan así no sólo para economizar espacio, sino también para facilitar los cálculos. Si hubiera, por ejemplo, que multiplicar ambos número entre sí, bastaría hallar el producto de

950 x 1.983 = 1.883.850 y tras él colocar el factor 10

22+30

= 1052

de la forma siguiente:

950 x 1022

x 1 983 x 1030

= 188 385 x 1053

Es evidente que esto resulta más cómodo que escribir un número seguido de 22 ceros, otro de 30 ceros y, por último, un tercero acompañado de 53 ceros. Y no sólo más sencillo, sino también más seguro, por cuanto al escribir tal fila de ceros puede ser omitido alguno, obteniendo un resultado erróneo.
EJERCITACION.

I .- Escribe en forma usual expresiones dadas en notación científica.

a) 6,24 x 10 -3 = ………………………………………………………………...

b) 3,15 x 10 4 = ……………………………………………………………….

c) 2,8x10 -4. = ………………………………………………………………...

II.- Escribe en Notación Científica a las siguientes cifras.

a) 12.578 = ……………………………………………………………………

b) 245, 0034 = ………………………………………………………………..

c) 0,045 x 10 = …………………………………………………………..…

III.- Escribir la notación científica en cada una de las siguientes medidas

  1. 188 cm  =……………………………………………………………………….…….

  2.   0,00008 min ……………………………………………………………………..…

  3. 0,000276 Kg  ……………………………………………………………………….. 

IV .- Expresa en notación científica las cantidades

a) doce mil millones =………………………………………………….……

b) 0,000000000001234 = ………………………………………………...

V .- Lee y responde:

Gonzalo está realizando un trabajo para la asignatura de química. Debe averiguar todo lo referente al átomo de hidrógeno. Entre la información que recoge, encuentra que su masa es 1,66 · 10-24 gramos y su diámetro mide 4,1 · 10-10 metros.

¿ Cómo consideras que son estas medidas, grandes o pequeñas? ¿ Cuál es grande y cuál es pequeña ? ¿ Por qué ?

Grande es ……………………………. Pequeña es …………………………

………………………………………………………………………………………....................

……………………………………………………………………………………………………….
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