Respuesta forzada de un sistema amortiguado viscoso sujeto a una sola frecuencia de excitación armónica”






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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MATAMOROS.

INGENIERÍA MECATRÓNICA.



RESPUESTA FORZADA DE UN SISTEMA AMORTIGUADO VISCOSO SUJETO A UNA SOLA FRECUENCIA DE EXCITACIÓN ARMÓNICA”.

Materia: Análisis de Vibraciones.

Profesor. Luis Carlos Rincón Ruíz.

Integrantes del Equipo:

  • Ulisses Alberto Heredia Rivera.

  • Carlos Flores Perales.

  • Oliver de Jesús Martínez Delgadillo.

  • David Mondragón Aguilar.

Erick Elver Chávez Leal.

Septiembre 2012 H.Matamoros.Tam

2.1. ECUACIONES CONSTITUTIVAS DEL ELMENTO RESORTE.

2.1.1. DEFINICIÓN DE RESORTE.

Un resorte es un enlace flexible mecánica entre dos partículas en un sistema mecánico. En realidadun resorte en sí es un sistema continuo. Sin embargo, la inercia del resorte es generalmente pequeñaen comparación con los otros elementos del sistema mecánico y es despreciada. Bajo este supuestola fuerza aplicada a cada extremo del resorte es la misma.

La longitud de un resorte cuando no está sujeto a fuerzas externas que le llama  longitud sin estirar. Puesto que el resorte está hecho de un material flexible, la fuerza F que se debe de aplicar aal resorte para cambiar su longitud en x es una función continua de x,



2.1.2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS DEL ELEMENTO RESORTE.

Las ecuaciones constitutivas relacionan tensiones con deformaciones. En este curso se adopta como ecuaciones constitutivas las más simples en las que la fuerzas actuantes (normal, flexión, corte, torsión) varían proporcionalmente con la deformación correspondiente. Los coeficientes de proporcionalidad son los módulos de elasticidad longitudinal E (módulo de Young) para las tensiones axiales asociadas al esfuerzo normal y la flexión y el módulo de elasticidad transversal G para las tensiones de corte asociadas al esfuerzo de corte y la torsión, juntamente con coeficientes que caracterizan geométricamente a la sección. Las expresiones que resultan son las siguientes:



Las ecuaciones en la última columna de la Tabla 1.1 son lineales. Ejemplos de ecuaciones constitutivas no lineales son las correspondientes al endurecimiento (el módulo E aumenta con la deformación), ablandamiento (el módulo E disminuye con la deformación) o comportamiento plástico.

2.1.3 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN.

La manera más sencilla de analizar un resorte físicamente es mediante su modelo ideal global y bajo la suposición de que éste obedece la Ley de Hooke. Se establece así la ecuación del resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre el mismo con el alargamiento/contracción o elongación x producida, del siguiente modo:

f = -kx\,

siendo     k = \frac{ae}{l}

Donde k es la constante elástica del resorte, x la elongación (alargamiento producido), A la sección del cilindro imaginario que envuelve al muelle y E el módulo de elasticidad del muelle (no confundir con el módulo de elasticidad del material).

La energía de deformación o energía potencial elástica u_k asociada al estiramiento o acortamiento un muelle lineal viene dada por la integración de trabajo realizado en cada cambio infinitesimal dx\, de su longitud:

u_k = -\int_{0}^{x} f(x) \ d x = -\int_{0}^{x} -k(x)x\ dx\ = \frac{1}{2} kx^2

Si el muelle no es lineal entonces la rigidez del muelle es dependiente de su deformación y en ese caso se tiene una formula algo más general:

u_k = \int_{0}^{x} k(x)\cdot x \ dx

2.1.4. ECUACIÓN DIFERENCIAL Y ECUACIÓN DE ONDAS.

Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando k por la longitud total, y llamando al producto k_i o k intrínseca, se tiene:

k_i=ae\,

    donde   k=\frac{k_i}{l}

Llamaremos f(x)\, a la tensión en una sección del muelle situada a una distancia x\, de uno de sus extremos, que consideraremos fijo y que tomaremos como origen de coordenadas, k_{\delta x} a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud ,\delta x\, a la misma distancia y \delta_{\delta x}\, al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza f(x)\,. Por la ley del muelle completo:

f(x)=-k_{\delta x}\delta_{\delta x}=k_i\frac{\delta_{\delta x}}{\delta x}

Tomando el límite:

f(x)=-k_i\frac{{\delta}_{dx}}{dx}

que por el principio de superposición resulta:

f\left(x\right)=-k_i\frac{d{\delta}}{dx}=-ae\frac{d\delta}{dx}

Si además suponemos que tanto la sección como el módulo de elasticidad pueden variar con la distancia al origen, la ecuación queda:

f\left(x\right)=-k_i\left(x\right)\frac{d{\delta}}{dx}=-a\left(x\right)e\left(x\right)\frac{d\delta}{dx}

Que es la ecuación diferencial completa del muelle. Si se integra para todo x, se obtiene como resultado el valor del alargamiento unitario total. Normalmente puede considerarse F (x) constante e igual a la fuerza total aplicada. Cuando F (x) no es constante y se incluye en el razonamiento la inercia de éste, se llega a la ecuación de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios.

Supongamos, por simplicidad, que tanto la sección del resorte, como su densidad (entendiendo densidad como la masa de un tramo de muelle dividida por el volumen del cilindro imaginario envolvente) y su módulo de elasticidad son constantes a lo largo del mismo y que el resorte es cilíndrico. Llamemos \psi\left(x\right) al desplazamiento de una sección de muelle. Ahora tomemos un tramo diferencial de muelle de longitud (dx). La masa de esa porción vendrá dada por:

dm=\rho adx

Aplicando la segunda ley de Newton a ese tramo:

f\left(x\right)-f(x+dx)\left(x\right)=-dm\frac{{\partial}^2\psi}{{\partial t}^2}=-\rho adx\frac{{\partial}^2\psi}{{\partial t}^2}

Es decir:

\frac{\partial f}{\partial x}dx=-\rho adx\frac{{\partial}^2\psi}{{\partial t}^2}\rightarrow \frac{\partial f}{\partial x}=-\rho a\frac{{\partial}^2\psi}{{\partial t}^2}

Por otro lado es sencillo deducir que

d\delta=\psi\left(x+dx\right)-\psi\left(x\right)=\frac{\partial \psi}{\partial x}dx

Al introducir, por tanto, esta expresión en la ecuación diferencial del muelle antes deducida, se llega a:

f\left(x\right)=-ae\frac{\partial\psi}{\partial d}

Derivando esta expresión respecto a x se obtiene:

\frac{\partial f}{\partial x}=-ae\frac{{\partial}^2\psi}{{\partial x}^2}

Juntando la expresión temporal con la expresión espacial se deduce finalmente la ecuación general de un muelle cilíndrico de sección, densidad y elasticidad constantes, que coincide exactamente con la ecuación de onda longitudinal:

\frac{{\partial}^2\psi\left(x,t\right)}{{\partial t}^2}=\frac{e}{\rho}\times\frac{{\partial}^2\psi\left(x,t\right)}{{\partial x}^2}

De la que se deduce la velocidad de propagación de perturbaciones en un muelle ideal como:

c=\sqrt{\frac{e}{\rho}}

2.1.5. MUELLE CON UNA MASA SUSPENDIDA.

Para el caso de un muelle con una masa suspendida,

\displaystyle f = -kx \ \to \ m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx

Cuya solución es x = c \sin{\omega t}, es decir, la masa realiza un movimiento armónico simple de amplitud c y frecuencia angular \omega. Derivando y sustituyendo:

\ \displaystyle -\omega ^2 \cdot c \sin \omega t = -\frac{k}{m}\cdot c sin\omega t

Simplificando:

 \displaystyle \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

Esta ecuación relaciona la frecuencia natural con la rigidez del muelle y la masa suspendida

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza fejercida sobre el resorte con la elongación o alargamiento \delta producido: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/spring-mass2.svg/250px-spring-mass2.svg.png

f = - k\delta \,

donde k se llama constante elástica del resorte y  \delta  es su elongación o variación que experimenta su longitud.

La energía de deformación o energía potencial elástica u_k asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:

u_k=\frac{1}{2} k{\delta}^2

Es importante notar que la k antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando k por la longitud total, y llamando al producto k_i o k intrínseca, se tiene:

k=\frac{k_i}{l}

Llamaremos f(x) a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos que tomamos como origen de coordenadas, k_{\delta x} a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud \delta x a la misma distancia y \delta_{\delta x} al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza f(x). Por la ley del muelle completo:

f(x)=-k_{\delta x}\delta_{\delta x}=-k_i\frac{\delta_{\delta x}}{\delta x}

Tomando el límite:

f(x)=-k_i\frac{{\delta}_{dx}}{dx}

que por el principio de superposición resulta:

f\left(x\right)=-k_i\frac{d{\delta}}{dx}=-ae\frac{d\delta}{dx}

Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo x, se obtiene como ecuación de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios (Ver: Muelle elástico). La velocidad de propagación de las vibraciones en un resorte se calcula como:

c=\sqrt{\frac{e}{\rho}}
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